BARISAN BILANGAN
A. POLA BILANGAN
Pola bilangan seringkali dapat
divisualisasikan dengan menggunakan kumpulan benda-benda (diwakili dengan
lambang noktah ●) sebagaimana dijelaskan dalam paparan berikut.
B. BARISAN BILANGAN
Barisan
bilangan
adalah susunan bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu antara satu
bilangan dengan bilangan berikutnya.
Jika bilangan pertama u1, bilangan kedua u2, bilangan ketiga u3, . . ., dan bilangan
ke n adalah un, maka
barisan bilangan itu dituliskan sebagai berikut
u1,
u2, u3, . . ., uk, . . ., un
|
Bilangan-bilangan yang membentuk barisan disebut suku-suku barisan. Bilangan pertama
atau suku pertama dilambangkan dengan u1, suku kedua dengan u2,
suku ketiga dengan u3, suku ke-k dengan uk, dan suku ke n
dengan un. (n bilangan asli)
Indeks n menyatakan banyaknya
suku dalam barisan itu. Untuk nilai n bilangan asli berhingga, barisan itu
dinamakan barisan berhingga. Suku ke-n yang dilambangkan dengan un disebut suku umum barisan. Pada umumnya suku
ke-n atau un merupakan fungsi dengan
daerah asal bilangan asli n.
Contoh
1 :
Tentukan
tiga suku pertama pada barisan berikut ini, jika suku ke-n dirumuskan
sebagai Un = 3n + 1
JAWAB
:
Suku
ke-n, Un = 3n + 1
Untuk
n = 1, diperoleh U1 = 3(1) + 1 = 4
n = 2, diperoleh U2 =
3(2) + 1 = 7
n = 3, diperoleh U3 =
3(3) + 1 = 10
jadi,
tiga suku pertama barisan itu adalah u1 = 4, u2 = 7,
u3 = 10
|
Rumus umum suku ke-n atau un dapat ditentukan
dengan cara mengamati pola atau aturan tertentu yang terdapat pada tiga atau
empat suku pertama dari barisan tersebut.
Contoh
2 :
Tentukan rumus umum suku ke-n untuk barisan berikut ini,
jika empat buah suku pertama diketahui sebagai berikut :
4, 6, 8, 10, . . .
JAWAB :
Barisan bilangan dengan suku pertama u1 = 4 dan
selisih dua suku yang berurutan bernilai konstan sama dengan 2. Jadi Un =
2n + 2
|
CONTOH
3
Rumus
umum suku ke-n dari suatu barisan ditentukan melalui hubungan
un =
an2 + bn. Suku ke-2 dan suku ke-7 dari barisan untu
masing-masing sama dengan 8 dan 63.
a) Hitunglah nilai a dan nilai b.
b) Tentukan suku ke-10
JAWAB
:
a) Rumus umum suku ke-n, : Un = an2
+ bn
Suku ke-2 sama dengan 8, diperoleh
hubungan :
a(2)2 + b(2) = 8
4a + 2b = 8
2a + b = 8
Suku ke-7 sama dengan 63, diperoleh hubungan :
a(7)2 + b(7) = 63
49a + 7b = 63
7a + b = 9
Persamaan ke-1 dan ke-2
membentuk persamaan sistem persamaan linear dua variabel sebagai berikut :
2a + b = 4
7a + b = 9
Penyelesaian dari kedua
persamaan tersebut adalah untuk a nilainya adalah 1 (a = 1), dan nilai b =
2.
b) Berdasarkan hasil perhitungan
di atas, dimana rumus umum suku ke-n dinyatakan sebagai Un = an2
+ bn.
Untuk
n = 10, diperoleh u10 = (10)2 + 2 (10) = 120
Jadi,
suku ke-10 dari barisan itu adalah U10 = 120
|
BARISAN ARITMATIKA
Suatu
barisan U1, U2, U3, . . ., Un disebut barisan aritmetika jika untuk
sebarang nilai n berlaku hubungan :
Un – Un-1 =
b
|
Ciri dari
barisan aritmatika yaitu selisih dua suku yang berurutan selalu
mempunyai nilai yang tetap atau konstan. Selisih dua suka pada barisan
aritmatika disebut beda atau
dilambangkan dengan huruf b.
Rumus Umum Suku Ke-n pada Barisan
Aritmatika;
Contoh
4.
Tentukan
suku pertama, beda, dan suku ke-6
dari barisan aritmetika
1, 6, 11, 16, ...
Jawab
:
Suku
pertama u1 = a = 1, beda b = 6 – 1 = 5
Suku
ke-6 u6 = a + 5b = 1
+ 5(5) = 26
Jadi
suku pertama a = 1, beda = 5, dan suku ke-6 adala U6 = 26
|
Contoh
5
Suku
ketiga suatu barisan aritmatika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh
sama dengan 39.
a) Carilah suku pertama dan beda
barisan itu.
b) Carilah rumus suku ke-n
JAWAB
U3
= 11, a + 2b = 11
U10
= 39, a + 9b = 39
Dari
persamaan tersebut didapat a = 3 dan b = 4
Jadi
suku pertama a = 3 dan beda b = 4.
Un =
a + (n – 1)b = 2 + (n – 1)4
= 4n – 1
Jadi
rumus suku ke-n adalah Un = 4n -1
|
Misalkan
suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b. Rumus umum suku
ke-n dari barisan aritmatika itu ditentukan oleh :
Un =
a + (n – 1)b
|
BARISAN GEOMETRI
Suatu
barisan U1, U2, U3, . . ., Um disebut barisan geometri, jika untuk sebarang
nilai n ϵ bilangan asli kurang dari m
berlaku hubungan :
Un
= r
Un-1
Dengan
r adalah suatu tetapan atau konstanta yang tidak tergantung pada n.
|
Barisan geometri
mempunyai ciri tertentu yaitu perbandingan dua suku yang berurutan mempunyai
nilai yang tetap (konstan). Perbandingan dua suku yang berurutan disebut pembanding atau rasio. Dilambangkan dengan huruf r.
Terdapat
barisan bilangan 2, 6, 18, 54, . . .
Nilai
rasio barisan tersebut dapat ditetapkan sebagai berikut :
R = 6 = 18
= 54 = 3
2
6 18
Rumus Umum Suku ke-n pada Barisan Geometri
Misalkan
suatu barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio r. Rumus umum suku
ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh :
Un =
arn-1
|
Contoh 6
Tentukan suku pertama,
rasio, dan suku keenam pada barisan geometri berikut ini.
27, 9, 3, 1, . . .
Jawab :
27, 9, 3, 1, . . . suku
pertama a = 27, rasio r = 9/27 = 1/3
Suku keenam U6
= ar5 = 27 (1/3)5 = 1/9
Contoh
7
Suku
pertama suatu barisan geometri sama dengan 5, sedangkan suku ketiganya sama
dengan 45. Selain itu diketahui pula bahwa rasio barisan geometri tersebut
positif.
a) Tentukan rasio dari barisan
geometri tersebut.
b) Tentukan rumus umum suku ke- n
c) Suku keberapakah pada barisan
geometri itu yang nilainya sama dengan 1.215
JAWAB
:
a. Suku pertama a = 5, suku ketiga
U3 = 45
U3 = ar2
45 = 5r2
r2 = 9
r = -3 atau r = 3
karena dalam soal rasio bernilai positif maka diambil r =
3
b. Suku ke-n ditentukan sebagai
berikut :
Un = arn-1 = 5(3)n-1 = 5.3n-1
Jadi rumus umum suku ke-n dari barisan geometri tersebut
adalah
Un = 5.3n-1
c. Dimisalkan 1.215 merupakan suku
yang ke-n atau Un = 1.215
Un = 1.215
5.3n-1 = 1.215
3n-1 = 243 = 35
n-1 = 5, n = 6
jadi 1.215 merupakan suku yang ke-6
|
DERET TAK BERHINGGA GEOMETRI
Dari
barisan 3, 6, 12, 24, . . .,192 dapat dibentuk deret geometri menjadi
3 + 6 + 12
+ 24 + . . . + 192.
Untuk mendari jumlah n suku pertama dapat
dicari dengan rumus :
atau
n =
banyaknya suku
a = suku
pertama
r = rasio
§ Untuk rumus yaang pertama biasanya
digunakan apabila │r│‹ 1
§ Untuk
rumus yang kedua digunakan apabila │r│> 1
Contoh 1:
Terdapat
deret geometri tak berhingga yaitu 3, 6,
12, 24, . . .
Hitunglah
jumlah enam suku pertama deret geometri tersebut!
Jawab :
Diketahui
a = 3 , r = 2
Karena r > 1, maka
digunakan rumus yang kedua.
Sifat suku ke-n deret geometri tak
hingga dapat dituliskan dengan rumus :
Un = Sn
– Sn-1
Contoh 2:
Jumlah n
suku pertama dari suatu deret tak berhingga ditentukan
.
a. Tentukan rumus umum suku ke-n
b. Tentukan suku pertama dan rasio deret
geometri tersebut
Jawab ;
a.
Gunakan
sifat bahwa suku ke-n adalah Un = Sn
– Sn-1
Jadi rumus umum suku
ke-n adalah
b. Dari
diperoleh suku pertama
Rasio r ditentukan
dengan hubungan
Jumlah
deret geometri tak hngga dilambangkan dengan S dan
dikatakan S diperoleh dari Sn dengan proses lmiit n mendekati tak hingga. Selanjutnya nilai
Sifat
deret geometri tak hingga dikatakan :
1. Mempunyai
limit atau konvergen
jika dan hanya jika |r|<1.
Limit jumlah itu ditentukan oleh
2. Tidak
mempunyai limit jumlah atau divergen jika dan hanya jika |r| > 1.
Contoh :
Suku ke-n dari suatu deret geometri ditentukan dengan rumus Un
= 6-n
Hitunglah limit jumlah dari deret geometri tersebut!
Jawab :
Dari suku ke-n : Un = 6-n diperoleh suku pertama
sama dengan 1/6 dan rasio = 1/6.
Oleh karena 1/6 < 1 maka deret geometri tersebut bersifat
konvergen dengan limit jumlah :
Jadi limit jumlah dari deret geometri tak hingga tersebut adalah
S = 1/5
Contoh :
sepotong kawat mempunyai panjang 124 cm, dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan kawat tersebut membentuk barisan geormetri dengan panjang potongan kawat terpendek sama dengan 4 cm. Tentukan panjang kawat yang paling panjang!
sepotong kawat mempunyai panjang 124 cm, dipotong menjadi 5 bagian sehingga potongan-potongan kawat tersebut membentuk barisan geormetri dengan panjang potongan kawat terpendek sama dengan 4 cm. Tentukan panjang kawat yang paling panjang!
Jawab :
Misalkan
panjang potongan-potongan kawat berturut-turut adalah U1, U2, U3, U4, dan U5
membentuk barisan geometri dengan suku pertama a = 4 cm dan rasio r.
Jumlah
suku-suku barisan geometri itu membentuk deret geometri dengan jumlah sama
dengan panjang kawat:
U1 + U2 +
U3 + U4 + U5 = panjang kawat.
Penyelesaian atau
solusi bagi persamaan ini adalah r = 2.
Dari suku pertama a = 4
dan rasio r = 2 maka suku kelima U5 ditentukan oleh
U5 = ar4 =
4(2)4 = 64.
Jadi panjang potongan
kawat yang paling panjang adalah u5 = 64 cm.
Contoh :
Sebuah bola tenis
dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 1 m. setiap kali setelah memantul, bola
itu mencapai ketinggian lima per enam dari ketinggian yang dicapai sebelumnya.
Hitunglah panjang
lintasan yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti!
Jawab :
Karakteristik masalah
dalam soal di atas berkaitan dengan model matematika yang berbentuk deret
geometri tak hingga.
Lintasan yang ditempuh
oleh bola itu sampai berhenti terdiri atas lintasan turun dan lintasan naik.
a. Untuk lintasan turun :
Pert ama a = 1 dan rasio r = 5/6.
b. Untuk lintasan naik :
a = 5/6 dan rasio r =
5/6
Jadi panjang lintasan
yang ditempuh oleh bola itu sampai berhenti adalah 11 meter.
3D printing of 3D printing 3D models of metal - iTanium-arts.com
ReplyDelete3D printing is the titanium razor best way to create custom 2D models for your casino snow peak titanium or the raft titanium sportsbook or the games. 3D models titanium wallet give you the freedom to create your own titanium key ring